●数学作为人类的一种活动，它的主要特征是数学化
●通过数学化产生的数学是由通过教学过程产生的教学反映出来的
数学化——通往数学教学有效性的必经之路
王飞成
晚近以来，“数学教学生活化”“数学教学应向生活回归”“数学教学要情境化”“从学生熟悉的生活情境出发，构建与学生生活经验紧密结合的学习（或教学）情境”等理念成为许多教师的共识，于是探究与合作学习等占据了数学课堂.然而，这样一来，数学教学的有效性却被忽视了.君不见，每堂数学课学生热热闹闹，教师心满意足，貌似十分和谐.但是，热闹过后，大部分学生并没有学到真正的数学知识，或者学到的数学知识是“夹生饭”.因为没有经过数学化的提炼，数学知识还“粘”在生活中，“粘”在情境中，并没有抽象出来.弗赖登塔尔说：“数学作为人类的一种活动，它的主要特征是数学化.”“通过数学化产生的数学是由通过教学过程产生的教学反映出来的.”其实，数学课堂不论是安静也好，还是热闹也好，都应该朝一个目标努力——数学化，即只有引导学生将数学知识从情境、生活等外在因素中提炼出来，形成数学特有的抽象或模式，学生学到的才是真实的数学知识，数学教学才算有效.否则的话，就会出现下面案例中的尴尬情况.
案例1
20世纪60年代，美国的新数学运动强调应当在中小学甚至幼儿园及早地引入“集合”的概念.以下是在这一背景下发生的一个真实案例.
一个数学家的女儿放学回家，父亲问她学到了什么，女儿高兴地回答：“我今天学习了‘集合’.”数学家一惊，想：对于女儿这个年龄来说，集合的概念实在太抽象了.因此，他关切地问道：“你听懂了吗？”女儿肯定地回答：“懂，一点都不难.”这样抽象的概念难道会这样容易吗？听了女儿的回答，作为数学家的父亲自然放心不下，因此，他又追问道：“你们的老师是怎么教的？”女儿说：“老师先让班上所有的男孩子站起来.然后告诉大家这是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这就是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，等等.最后老师问大家：是否都懂了？我们都说懂了，她得到了肯定的答复.”这样的教学法似乎没什么问题.因此，数学家父亲就以如下的问题作为最后的检验：“那么，我们能否以世界上所有的匙子和土豆组成一个集合呢？”迟疑了一会儿，女儿最终回答：“不行！除非它们都能站起来.”
什么是数学？数学是去掉具体事物的物理性质、化学性质等非本质属性后的抽象结构或模式.就拿集合这个非常重要的数学概念来说，当把一些确定的事物作为同一个整体来考虑的时候，就称这个整体是一个集合.至于这些事物是什么颜色，是死是活，是否具有相同属性，数学都不考虑.案例中，教师为教学集合设置的情境中，人、“站起来”、男女性别、皮肤颜色等都只是组成集合的非本质属性，一次又一次地重复的话，会强化两个非本质属性：
（1）“站起来”的动作；
（2）组成集合的元素具有相同属性，或性别相同、或皮肤颜色相同.
当数学家父亲问“能否以世界上所有的匙子和土豆组成一个集合”时，女儿回答“不行！除非它们都能站起来”，实质上已把“站起来”当做集合的一个要素了.土豆不站起来就不能组成集合了吗？这是非本质属性泛化.如果教师当初让坐着的学生也组成集合，让坐着的学生与站着的学生同时组成集合，就可以避免“站起来”的强化.如果让人与桌子也组成集合，就有助于淡化组成集合的元素有相同属性的误解.而造成这个状况的根本原因就是，教师没有将集合的数学本质提炼出来，数学化过程完全缺失了.
数学化过程是教师对教学材料加工的过程.要加工材料，教师首先必须理解材料中所包含的数学本质，而不是望文生义地理解材料.
案例2
一个教师教倒数时，有下面的一段对话.
师：过年了，门口大家喜欢贴什么字？
生：贴“福”字.
师：怎么个贴法？
生：倒着贴.
师：对！数学上也有一种数叫倒数，6的倒数是几？
生：9.
……
学生为什么说6的倒数是9？分析原因，是由于教师错误地理解倒数而致使学生出错.学生按照教师的引导，将6倒过来，不是9吗？教师一味追求情境，忽视倒数的数学本质，致使教学时出现错误.事实上，倒数的数学本质是两个数的积为1，如 ， ，那么，2与 ，（ ）与（ ）就互为倒数.倒数的“倒”与“福”字倒着贴完全不是一回事，案例中的教师是将两者牵强附会地扯在一起，造成了教学上的失误.
从上面两个案例我们可以发现，教师要对数学知识进行数学化，必须有很好的数学基本功.加强数学基本功训练是新课程改革中不能忽视的问题.如角的两边为什么要规定是射线？我们知道，角的重要功能是用来确定方向的，而确定方向用射线是最清楚的，不会引起误会.如果规定角的两边是直线的话，那么，方向就不确定了，人们用起来就不方便.如果规定角的两边是线段的话，那么，在测量上，人们还要将角的两边延长才符合测量的要求，用起来也不方便.因此，角的两边规定是射线是合理的.教师如果理解了这一点，在角的教学中，就不会仅仅停留在角的顶点、边、度数上，就能从航海测量、测量树高等实际问题中引出角，就能将角的本质呈现出来.
数学化过程，就是要把本质属性体现出来，去掉非本质属性.如果提炼的数学化过程“夹生”，非本质属性泛化，那么，认知基础就会异化为认知障碍.所以，数学教学注重联系生活实际、创设情境等并没有错，但设计这些，都只是为了使数学的发现过程逼真，更重要的工作，还是后面的数学化提炼.
（作者单位：衡南县松江长岭中学）